相量

　　物理和工程領域中，常會使用到正弦信號（例如交流電路的分析），這時可以使用相量來簡化分析。相量（英語：Phasor）是振幅（A）、相位（θ）和頻率（ω）均為非時變的正弦波的一個復數(shù)，是更一般的概念解析表示法的一個特例。而將正弦信號用復數(shù)表示后進行電路分析的方法稱為相量法，而在相量圖中利用向量表示正弦交流電的圖解法稱為向量圖法。相量法可以將這幾個參數(shù)的相互依賴性降低，使這3個參數(shù)相互獨立，這樣就能簡化特定的計算。Phasor是Phase Vector的混成詞。Phasor也被稱作復振幅，在比較古老的英文工程文獻當中，也常被寫作sinor，甚至寫作complexor。

　　參數(shù)中的頻率參數(shù)對正弦波的線性組合的所有分量都一樣，若利用相量法將這一因子提取出來，留下的只是振幅和相位信息的代數(shù)組合而不是三角函數(shù)的組合。同樣，線性微分方程的求解也可以通過相量法簡化為代數(shù)運算。不過因為要提取頻率，所以只有同頻率的正弦量才能進行相量運算。由此可知，相量是一種簡化的表示方法，紀錄一正弦波的振幅和相位數(shù)據(jù)。因此，相量一般指振幅和相位部分。

　　忽略一些數(shù)學細節(jié)，相量變換也可以看作是拉普拉斯變換的特定情況，該變換還能同時導出RLC電路的瞬態(tài)響應。然而拉普拉斯變換在數(shù)學上應用較為困難，因而在只需要進行穩(wěn)態(tài)分析時沒有必要使用。

定義

　　通過歐拉公式，我們可以將正弦信號表示為二復數(shù)函數(shù)項的和：

　　{\displaystyle A\cdot\cos(\omega t+\theta)={\frac{A\cdot e^{j(\omega t+\theta)}}{2}}+{\frac{A\cdot e^{-j(\omega t+\theta)}}{2}}}{\displaystyle A\cdot\cos(\omega t+\theta)={\frac{A\cdot e^{j(\omega t+\theta)}}{2}}+{\frac{A\cdot e^{-j(\omega t+\theta)}}{2}}}，

　　（其中A和θ分別表波的振幅以及相位，而其頻率f則定義為{\displaystyle{\frac{\omega}{2\pi}}}\frac{\omega}{2\pi}。）

　　也可單用實部表示：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}A\cdot\cos(\omega t+\theta)&=\operatorname{Re}\left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta)}\right\}\\&=\operatorname{Re}\left\{Ae^{j\theta}\cdot e^{j\omega t}\right\}\\\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}A\cdot\cos(\omega t+\theta)&=\operatorname{Re}\left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta)}\right\}\\&=\operatorname{Re}\left\{Ae^{j\theta}\cdot e^{j\omega t}\right\}\\\end{aligned}}}

　　或可單用虛部表示：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}A\cdot\cos(\omega t+\theta)&=A\cdot\sin(\omega t+\theta+{\frac{\pi}{2}})\\&=\operatorname{Im}\left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\right\}\\&=\operatorname{Im}\left\{Ae^{j(\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\cdot e^{j\omega t}\right\}\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}A\cdot\cos(\omega t+\theta)&=A\cdot\sin(\omega t+\theta+{\frac{\pi}{2}})\\&=\operatorname{Im}\left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\right\}\\&=\operatorname{Im}\left\{Ae^{j(\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\cdot e^{j\omega t}\right\}\end{aligned}}}

　　更進一步，若所分析電路為線性，由于信號源只為單一固定頻率ω而不產(chǎn)生其他雜項（例如諧波），因此可以只取其復數(shù)的常數(shù)部分{\displaystyle Ae^{j\theta}\,}{\displaystyle Ae^{j\theta}\,}，一般把這部分定義為相量。我們也可以用另一種更精簡的極坐標形式表示：{\displaystyle A\angle\theta\,}{\displaystyle A\angle\theta\,}。

　　在電氣工程領域當中，相角通常是以度來定義，而非弧度；振幅大小則通常是以方均根定義，而非峰－峰值。

　　正弦波可以被理解成復平面上的旋轉(zhuǎn)矢量在實軸上的投影。這一矢量的模是振動的幅度，而矢量的幅角是總相位{\displaystyle\omega t+\theta}{\displaystyle\omega t+\theta}。相位常數(shù){\displaystyle\theta}\theta代表復矢量于{\displaystyle t=0}t=0時刻與實軸的夾角。

運算法則

與常數(shù)（標量）相乘

　　相量{\displaystyle Ae^{j\theta}e^{j\omega t}\,}{\displaystyle Ae^{j\theta}e^{j\omega t}\,}與復常數(shù){\displaystyle Be^{j\phi}\,}{\displaystyle Be^{j\phi}\,}的乘積也是一個相量，這意味著相量乘法只會改變正弦波的振幅和相位：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\operatorname{Re}\{(Ae^{j\theta}\cdot Be^{j\phi})\cdot e^{j\omega t}\}&=\operatorname{Re}\{(ABe^{j(\theta+\phi)})\cdot e^{j\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta+\phi))\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}\operatorname{Re}\{(Ae^{j\theta}\cdot Be^{j\phi})\cdot e^{j\omega t}\}&=\operatorname{Re}\{(ABe^{j(\theta+\phi)})\cdot e^{j\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta+\phi))\end{aligned}}}

　　在電子學中，{\displaystyle Be^{j\phi}\,}{\displaystyle Be^{j\phi}\,}是獨立于時間的阻抗，且并不是另一相量的簡短記法。阻抗乘以相量電流可得到相量電壓。但2個相量相乘或相量乘方運算的結(jié)果表示2個正弦波的乘積，這種運算是非線性運算，會產(chǎn)生新的頻率分量。相量記法只能表示同一頻率的系統(tǒng)，例如正弦波模擬的線性系統(tǒng)。

微分和積分

　　一個相量的時間導數(shù)或積分可以產(chǎn)生另一個相量，例如：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}\operatorname{Re}\left\{{\frac0isaoggi{dt}}(Ae^{j\theta}\cdot e^{j\omega t})\right\}&=\operatorname{Re}\{Ae^{j\theta}\cdot j\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{Ae^{j\theta}\cdot e^{j{\tfrac{\pi}{2}}}\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{\omega Ae^{j(\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\cdot e^{j\omega t}\}\\&=\omega A\cdot\cos(\omega t+\theta+{\frac{\pi}{2}})\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}\operatorname{Re}\left\{{\frac0isaoggi{dt}}(Ae^{j\theta}\cdot e^{j\omega t})\right\}&=\operatorname{Re}\{Ae^{j\theta}\cdot j\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{Ae^{j\theta}\cdot e^{j{\tfrac{\pi}{2}}}\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{\omega Ae^{j(\theta+{\tfrac{\pi}{2}})}\cdot e^{j\omega t}\}\\&=\omega A\cdot\cos(\omega t+\theta+{\frac{\pi}{2}})\end{aligned}}}

　　因此在相量表示法中，正弦波的時間導數(shù)僅需要與常數(shù){\displaystyle j\omega=(e^{j{\tfrac{\pi}{2}}}\cdot\omega)\,}{\displaystyle j\omega=(e^{j{\tfrac{\pi}{2}}}\cdot\omega)\,}相乘就能得到；同樣，對相量進行積分運算也只需要乘以常數(shù){\displaystyle{\frac{1}{j\omega}}={\frac{e^{-j{\tfrac{\pi}{2}}}}{\omega}}\,}{\displaystyle{\frac{1}{j\omega}}={\frac{e^{-j{\tfrac{\pi}{2}}}}{\omega}}\,}就能得到；不論是微分還是積分運算，時間變量因子{\displaystyle e^{j\omega t}\,}{\displaystyle e^{j\omega t}\,}均不受影響。當利用相量法求解線性微分方程時，我們只需要將方程中全部項中的因子{\displaystyle e^{j\omega t}\,}{\displaystyle e^{j\omega t}\,}提取出來后，計算完成后將這一因子重新引入答案中，就可完成全部求解。例如，求解RC電路中電容上的電壓，可建立下列微分方程：

　　{\displaystyle{\frac{d\v_{C}(t)}{dt}}+{\frac{1}{RC}}v_{C}(t)={\frac{1}{RC}}v_{S}(t)}{\displaystyle{\frac{d\v_{C}(t)}{dt}}+{\frac{1}{RC}}v_{C}(t)={\frac{1}{RC}}v_{S}(t)}

　　當電路中的電壓源是正弦變化時：

　　{\displaystyle v_{S}(t)=V_{P}\cdot\cos(\omega t+\theta),\,}{\displaystyle v_{S}(t)=V_{P}\cdot\cos(\omega t+\theta),\,}

　　可以代換成如下方程：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname{Re}\{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\}\\\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname{Re}\{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\}\\\end{aligned}}}

　　{\displaystyle v_{C}(t)=\operatorname{Re}\{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\},}{\displaystyle v_{C}(t)=\operatorname{Re}\{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\},}

　　其中相量{\displaystyle V_{s}=V_{P}e^{j\theta},\,}{\displaystyle V_{s}=V_{P}e^{j\theta},\,}，相量{\displaystyle V_{c}\,}{\displaystyle V_{c}\,}是需要求取的未知量。

　　利用相量的簡短記法，微分方程可化簡為：

　　{\displaystyle j\omega V_{c}+{\frac{1}{RC}}V_{c}={\frac{1}{RC}}V_{s}}{\displaystyle j\omega V_{c}+{\frac{1}{RC}}V_{c}={\frac{1}{RC}}V_{s}}

　　解得相量電容電壓為：

　　{\displaystyle V_{c}={\frac{1}{1+j\omega RC}}\cdot(V_{s})={\frac{1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot(V_{P}e^{j\theta})\,}{\displaystyle V_{c}={\frac{1}{1+j\omega RC}}\cdot(V_{s})={\frac{1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot(V_{P}e^{j\theta})\,}

　　如上所示，結(jié)果為一個因子與{\displaystyle V_{s}\,}{\displaystyle V_{s}\,}的乘積，這代表了關聯(lián)于{\displaystyle V_{P}\,}{\displaystyle V_{P}\,}和{\displaystyle\theta\,}\theta\,的{\displaystyle v_{C}(t)\,}{\displaystyle v_{C}(t)\,}的幅值和相位的不同之處。

　　用極坐標形式表示，則結(jié)果為：

　　{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-j\phi(\omega)}\,}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-j\phi(\omega)}\,}，其中{\displaystyle\phi(\omega)=\arctan(\omega RC)\,}{\displaystyle\phi(\omega)=\arctan(\omega RC)\,}。（簡化的極坐標形式為：{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\angle-\arctan(\omega RC)}{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\angle-\arctan(\omega RC)}）

　　因此得到電容電壓為：

　　{\displaystyle v_{C}(t)={\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta-\phi(\omega))}{\displaystyle v_{C}(t)={\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta-\phi(\omega))}

加法

　　多個相量相加可以得到另一個相量，因為同頻率的正弦波相加可得到頻率相同的合成正弦波：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname{Re}\{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}\}+\operatorname{Re}\{A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}+A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{(A_{1}e^{j\theta _{1}}+A_{2}e^{j\theta _{2}})e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{(A_{3}e^{j\theta _{3}})e^{j\omega t}\}\\&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname{Re}\{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}\}+\operatorname{Re}\{A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}+A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{(A_{1}e^{j\theta _{1}}+A_{2}e^{j\theta _{2}})e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname{Re}\{(A_{3}e^{j\theta _{3}})e^{j\omega t}\}\\&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}

　　其中：

　　{\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos{\theta _{1}}+A_{2}\cos{\theta _{2}})^{2}+(A_{1}\sin{\theta _{1}}+A_{2}\sin{\theta _{2}})^{2},}{\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos{\theta _{1}}+A_{2}\cos{\theta _{2}})^{2}+(A_{1}\sin{\theta _{1}}+A_{2}\sin{\theta _{2}})^{2},}

　　{\displaystyle\theta _{3}=\arctan{\left({\frac{A_{1}\sin{\theta _{1}}+A_{2}\sin{\theta _{2}}}{A_{1}\cos{\theta _{1}}+A_{2}\cos{\theta _{2}}}}\right)},}{\displaystyle\theta _{3}=\arctan{\left({\frac{A_{1}\sin{\theta _{1}}+A_{2}\sin{\theta _{2}}}{A_{1}\cos{\theta _{1}}+A_{2}\cos{\theta _{2}}}}\right)},}

　　由復平面上的余弦定理或角的和差恒等式也可得到相同結(jié)果：

　　{\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ}-\Delta\theta),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta\theta),}{\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ}-\Delta\theta),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta\theta),}

　　其中{\displaystyle\Delta\theta=\theta _{1}-\theta _{2}}{\displaystyle\Delta\theta=\theta _{1}-\theta _{2}}。

　　這種計算方法的關鍵是A3和θ3并不取決于ω或t，因為在這種情況下才可以使用相量法。方程中的時間和頻率因子可以在計算時去掉，在相量運算完成后的結(jié)果中乘以這一因子即可。若使用極坐標表示法，運算的形式則為：

　　{\displaystyle A_{1}\angle\theta _{1}+A_{2}\angle\theta _{2}=A_{3}\angle\theta _{3}.}{\displaystyle A_{1}\angle\theta _{1}+A_{2}\angle\theta _{2}=A_{3}\angle\theta _{3}.}

　　另外一個考慮問題的角度是將加法運算視為[A1 cos(ωt+θ1),A1 sin(ωt+θ1)]與[A2 cos(ωt+θ2),A2 sin(ωt+θ2)]的矢量和，最終得到矢量[A3 cos(ωt+θ3),A3 sin(ωt+θ3)]，如上圖所示。

　　在物理學中，當正弦波發(fā)生相長或相消干涉時，可被視為相量加法。若將3個大小相當?shù)氖噶渴孜蚕嘟樱玫降氖且粋€等邊三角形，因此每2個相量間的夾角是120°（2π/3弧度），即波長的三分之一λ/3。因此每一波形之間的相位差必須為120°時，正弦波才能發(fā)生完全相消干涉，而這種相位條件與三相交流電是相同的。用公式可表示為：

　　{\displaystyle\cos(\omega t)+\cos(\omega t+{\frac{2\pi}{3}})+\cos(\omega t+{\frac{4\pi}{3}})=0\,}{\displaystyle\cos(\omega t)+\cos(\omega t+{\frac{2\pi}{3}})+\cos(\omega t+{\frac{4\pi}{3}})=0\,}。

　　在三個波相消干涉的情況下，第一個波和第三個波的相位相差240°，而兩個波發(fā)生相消干涉的條件是相位相差180°時。若多個波進行相消干涉，第一個相量和最后一個相量幾乎平行。這意味著對于多個波源的情況，第一個波和最后一個波發(fā)生相消干涉的條件是相位相差360°，即一個全波長{\displaystyle\lambda}\lambda。因此，單縫衍射的極小值位置是光程差為全波長的位置。

相量圖

　　電機工程師、電子工程師、電氣工程師以及飛機工程師都使用相量圖使復常數(shù)和相量變量可視化。與矢量一樣，在圖紙或計算機中都用箭頭代表相量。相量可以用指數(shù)形式或極坐標形式表示，各有優(yōu)點。

電路定律

　　用相量法表示正弦交流電后，就可以將直流電路的分析方法直接用于分析交流電路，這些基本定律如下：

• 　　歐姆定律：V=IZ，其中Z是復阻抗。

• 　　在交流電路中，有功功率P表示輸入電路的平均功率，無功功率Q是使電路內(nèi)電場與磁場進行能量交換而需要的電功率，不對外做功。這樣我們可以定義復功率S=P+jQ，其幅值就是視在功率。由此，由相量表示的復功率為：S=VI*，其中I*是I的共軛復數(shù)）。

• 　　基爾霍夫電路定律的復數(shù)形式也可用于相量計算中。

　　由以上定律，我們可以使用相量法進行阻性電路分析，可分析包含電阻、電容和電感的單一頻率交流電路。分析多頻率線性交流電路和不同波形的交流電路時，可以先將電路化為正弦波分量的組合（由疊加定理滿足），然后對每一頻率情況的正弦波進行分析，找出電壓和電流。

電力工程

　　在三相交流電力系統(tǒng)的分析中，通常會有一組相量被定義為3個復單位立方根，并以圖表示為角0°、120°以及240°處的單位幅值。將多相交流電路的量化為相量后，平衡電路可被化簡，而非平衡電路可被當作對稱電路的代數(shù)組合。這種方法簡化了電學計算中計算電壓降、功率流以及短路電流所需的工作。在電力系統(tǒng)分析中，相位角的單位常為度，而幅值大小則通常是以方均值而不是峰值來定義。

　　同步相量技術(shù)中使用數(shù)字式儀表來測量相量，先進的測量設備包括同步相量測量裝置（PMU），能直接即刻測得某節(jié)點的相量，不需要花費時間進行大量的計算。[7]在輸電系統(tǒng)中，相量一般被廣泛地認為是表示輸電系統(tǒng)電壓。相量的微小變化是功率流和系統(tǒng)穩(wěn)定性的靈敏指示參數(shù)。

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